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地球半径,在地球上挖一个深坑,坑深为地球半径的一半,坑底的物体所受重力是增大了还是缩小了? <#21---->


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在地球深处的物体受到的地球引力,由于地球的质量有一部分在物体的上方,不能用地球的全部质量来计算。在物体的位置做一个和半径垂直的平面,我们一般只用平面下方球缺部分的质量来近似计算引力。

为了简化计算,我们假设地球的质量是均匀的密度为ρ,那么球缺的体积是:

V=πh²(R—h/3),若坑深h=R/2,则地球剩余部分体积为V=27πR³/24。

球的体积V=4πR³/3



将地球平均密度ρ、球和球缺的体积V、物体到地心的距离R和R/2,物体的质量m代入万有引力公式:F=GMm/r²比较就可以得到结果。

其结果是坑底的物体,受到的地球引力变大了。因为在地心处引力为零,可见物体受力F和深度h并非线性关系。

变小了,前提是地球密度均匀,坑口面积同地球表面积相比可忽略不计;如果密度不均匀分布,要视情况而定。

以地球密度处处均匀或者密度成球对称分布为前提

设地球半径为R,坑深为r(r=2R)

那么坑底引力等于地球内部半径为(R-r)的球体M’引力,也就是说厚度为r的球壳对坑底的引力为零

如果密度处处均匀,结果算下来坑底的引力是地球表面的一半大

而重力等于引力减去向心力,不过向心力占比较小,因此坑底的重力也基本是地球表面的一半

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